Herleitung der Lösungsformel Quadratische-Gleichung (Mitternachtsformel)

Jeder Schüler kommte nicht drumherum die Lösungsformel für die Quadratische Gleichung auswendig zu lernen, so dass diese wie aus dem Effeff aufgesagt werden kann. Aus diesem Grund wird die Lösungformel auch gern als Mitternachtsformel bezeichnet. Jeder der um Mitternacht geweckt wird, sollte die Formel herunterrattern können.

An dieser Stelle soll es um die Herleitung der Lösungsformel für die Normalform der Quadratischen Gleichung gehen, also:

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}$

Normalform der Quadratischen Gleichung

Die folgende Gleichung stellt die Normalform der quadratischen Gleichung dar:

$0 = x^{2} + p x + q$

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus. Durch Division der Gleichung mit $a$ kann die Normalform gewonnen werden.

$0 = a x^{2} + b x + c$

Binomische Formeln

Als kleine Erinnerung, sind nachfolgend die binomischen Formeln noch einmal aufgelistet. Der Trick in der Nachfolgenden Herleitung der quadratischen Lösungsformel besteht nämlich in einer geschickten Rückführung auf eine binomische Gleichung. Dieses Vorgehen wird auch als quadratische Ergänzung bezeichnet. Für unsere Herleitung kommt werden wir die 1. Binomische Formel verwenden.

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ (1. Binomische Formel)

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ (2. Binomische Formel)

$(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}$ (3. Binomische Formel)

Herleitung

Wir gehen von der oben beschriebenen Normalform aus und subtrahieren q.

$- q = x^{2} + p x$ (1. Umformung)

Quadratische Ergänzung

Jetzt müssen wir diesen Ausdruck geschickt so ergänzen, dass wir diesen auf eine binomische Formel zurückführen können (Quadratische Ergänzung). Verglichen mit der 1. Binomischen Formel können wir Variablen wie folgt substituieren. Bei q* handelt es sich um die erforderlich Ergänzung; es ist nicht zu verwechseln mit dem q aus der 1. Umformung.

$x = a p = 2 b q * = b^{2}$

Damit lässt sich folgender Zusammenhang zwischen p und q* herleiten:

$b = \frac{p}{2} q * = b^{2} = {(\frac{p}{2})}^{2} = \frac{p^{2}}{4}$

Für eine quadratische Ergänzung muss also immer $\frac{p^{2}}{4}$ bzw. $\frac{p^{2}}{4}$ auf beiden Seiten der Gleichung ergänzt werden ohne die Gleichung zu verfälschen. Das machen wir durch eine entsprechende Addition auf der rechten und linken Seite unserer Gleichung aus der 1. Umformung.

$- q = x^{2} + p x + \frac{p^{2}}{4}$

$\frac{p^{2}}{4} - q = x^{2} + p x + \frac{p^{2}}{4}$ (2. Umformung)

Jetz können wir den rechten Term in die 1. Binomische Formel überführen:

$\frac{p^{2}}{4} - q = {(x + \frac{p}{2})}^{2}$ (3. Umformung)

Jetzt noch die Wurzel ziehen, welche sowohl ein positives als auch ein negative Ergebniss liefern kann:

$\pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q} = x + \frac{p}{2}$ (4. Umformung)

Und im letzten Schritt wird noch $\frac{p}{2}$ subtrahiert und dann haben wir unsere bekannte Lösungsfomel für quadratische Gleichungen.

$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q} = x_{1, 2}$

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}$

[Datum: 30.10.2018]