Skalarfeld

Was ist ein Skalar?

Mathematisch gesehen ist ein Skalar eine mathematische Größe, die durch einen einfachen Zahlenwert beschrieben wird. Dieser Zahlenwert ist in den meisten Fällen eine reele Zahl, kann aber auch ein komplexe Zahl sein. Physikalisch gesehen, handelt es sich meist um eine physikalische Größe/Eigenschaft, die durch einen einfachen Zahlwert beschrieben werden kann. In diesem Fall hat das Skalar dann auch eine physikalische Einheit, z.B. Temperatur oder Druck. Wichtig ist, es handelt sich um eine ungerichtete Größe. Eine gerichtete Größe könnte zum Beispiel die Geschwindikeit sein, deren Richtung sich durch einen Vektor beschreiben lässt, es handelt sich also nicht mehr um ein Skalar.

Was ist ein Skalarfeld?

Allgemein gesprochen ist das Skalarfeld ein ungerichtetes Feld. Pinzipiell kann ein Feld eine Fläche oder der dreidimensionale Raum sein. Theoretisch sind auch höhere Dimensionen denkbar, wobei dies dann schlecht vorstellbar wird. Jedem unendlich (infinitesimal) kleinen Punkt auf dieser Fläche oder im Raum kann dann ein Skalar zugeordnet werden; also einfach nur einen Zahlenwert. Dieser Zahlenwert beschreibt eine bestimmte Eigenschaft, wobei diese Eigenschaft ungerichtet ist. Wäre die Eigenschaft gerichtet würde man vom Vektorfeld sprechen.

Ein typisches Beispiel für ein Skalarfeld ist zum Beispiel ein Temperaturfeld. Man kann also jedem Punkt im Raum einen Temperaturwert zuweisen. Die Temperatur selbst ist ungerichtet, also ein Skalar. Ein weiteres Beispiel für ein Skalarfeld kann der Druck sein, z.B. der Luftdruck über die Höhe. Es gibt noch viele weitere physikalische Beispiele für skalare Felder, wie z.B. Potentialfelder.

Skalare Feldfunktion

Die Berechnung des Skalars, also der Eigenschaft, wie Druck, Temperatur oder Dichte, erfolgt über die Feldfunktion; in diesem Fall über die skalare Feldfunktion.

Reel-wertige und Komplex-wertige Skalarfelder

In der Physik wird auch noch zwischen reelwertigen und komplexwertigen Skalarfeldern unterschieden. Bei letzteren wird die Eigenschaft/das Skalar abweichend von der Definition oben, durch eine komplexe Zahl beschrieben.

Stationäre und Instationäre Skalarfelder

Darüber hinaus können Felder allgemein noch in stationäre und instationäre Felder unterschieden werden.
Ein stationäres Feld ist zeitlich unabhängig. Das heißt, das Skalar bleibt über die Zeit in jedem Punkt gleich während es beim instationären Zeit eine zeitliche Änderungen des Skalars gibt. Die Druckverteilung in einem Schwimmbecken könnte man als quasi stationär betrachten, wenn der Wasserspiegel konstant bleibt. Den Temperaturverlauf in der unteren Atmospärenschicht über den Tag-Nacht-Wechsel könnte man als instationäres Feld anführen.

Beispiel Skalarfeld

Temperaturfeld in der Atmosphäre

Konstruieren wir uns als ein fiktives Beispiel für ein Skalarfeld ein Temperaturfeld (Mit der realen Physik oder Meterologie hat dies nichts zu tun). Nehmen wir an, wir befinden uns zum Sonnenaufgang am Äquator, zu einer Jahreszeit, bei der die Sonne sich im Zenit am Äquator befindet. Je weiter man sich nach Osten bewegt, desto wärmer wird es, weil dort der Tag bereits angebrochen ist. Je weiter nach Westen man sich bewegt, desto wärmer wird es, weil der Tiefpunkt der Nacht noch nicht erreicht ist. Bewegt man sich noch Norden oder Süden wird es ebenfalls kälter, weil die Sonne sich nicht mehr im Zenit befindet. Nach oben nimmt die Lufttemperatur mit 1°C pro 100m ab.

3-dimensionales Diagramm eines Skalarfeldes (Temperturfeld)

Nun formulieren wir das ganze noch mathematisch als skalare Feldfunktion. T0 ist die Ausgangstemperatur am Punkt T(0,0,0). Und K/km sind die Einheiten für die Temperaturänderung Kelvin je Kilometer, wenn x, y, z die Einheit km aufweisen.

$T (x, y, z) = - 0, 1 \frac{K}{k m} \cdot x - 0, 1 \frac{K}{k m} \cdot y - 10 \frac{K}{k m} \cdot z + T_{0}$

Temperaturfeld bei punktförmiger Wärmequelle

Als weiteres Beispiel kann man eine punktförmige Wärmequelle im Raum annehmen. Mit zunehmender Entfernung von der Wärmequelle nimmt die Temperatur ab. Aber in allen Punkten, die gleich weit von der Wärmequelle entfernt sind, stellt sich die gleiche Temperatur ein. Mathematisch bezeichnet man das als Niveauflächen oder Äquipotentialflächen.

3-dimensionale Darstellung eines Kugelfeldes

Das Temperaturfeld könnte zum Beispiel durch die folgende Gleichung mit Einheiten beschrieben werden.

$T (x, y, z) = - 1 \frac{K}{m^{2}} \cdot x^{2} - 1 \frac{K}{m^{2}} \cdot y^{2} - 1 \frac{K}{m^{2}} \cdot z^{2} + T_{0}$

In vereinfachter Schreibweise würde die skalare Feldfunktion so aussehen.

$T (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + T_{0}$

Man erkennt, dass es sich um ein Kugelfeld handelt. Das heißt, die Niveauflächen sind kugelförmig und auf einer Äquipotentialfläche mit dem Abstand/Radius r vom Mittelpunkt herrscht immer dieselbe Temperatur. Wir leiten uns nun kurz die Gleichung für die Niveauflächen her:

$a = - 1 \frac{K}{m ²} T (x, y, z) = a x^{2} + a y^{2} + a z^{2} + T_{0} - T_{0} T (x, y, z) - T_{0} = a x^{2} + a y^{2} + a z^{2} \div a \frac{∆ T}{a} = x^{2} + y^{2} + z^{2} \sqrt{\frac{∆ T}{a}} = r r...Radius/Entferung$

Über die Gleichung der Niveaufläche lässt sich dann die Entfernung von der Wärmequelle berechnen.

Das Kugelfeld ist ein Spezialform des Skalarfelds. Darüber hinaus gibt es noch als weitere Spezialform das Zylinderfeld bzw. Axialfeld.

Hinweise:

Die hier dargestellten Feldfunktionen wurden auf den physikalischen Sachverhalt adaptiert. In der Mathematik wird das Skalarfeld oft allgemein beschrieben

für den dreidimensionalen Raum

$U = U (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

für die zweidimensionale Fläche

$U = U (x, y) = x^{2} + y^{2}$

Es sind auch verküzte Schreibweisen mit dem Ortsvektor möglich (hier ausmultipliziert mit der Einheitsmatrix):

$U = U (x, y, z) = U (\vec{r}) \vec{r} = x i + y j + z k U = U (x, y) = U (\vec{r}) \vec{r} = x i + y j$

Weitere Beispiele:

Ein weiteres nicht ganz so anschauliches Beispiel für ein Skalarfeld ist das Potentialfeld einer Punktladung oder eines Plattenkondensators (Potentialfeldlinien sind im Bild mit roter Punkt-Strich-Linie dargestellt).

Darstellung von Potentialfeldlinien an einer Punktladung und an einem Plattenkondensator

Der Luftdruck in der Atmosphäre oder die Dichte der Luft in der Atmosphäre sowie der Wasserdruck im Meer können ebenfalls als skalares Feld beschrieben werden.

[Datum: 18.11.2018]