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Herleitung sin²(x)+cos²(x)=1

Eine fazinierende Formel ist, dass Sinus zum Quadrat addiert mit Cosinus zum Quadrat gleich Eins ergibt:

Bei vielen mathematischen Herleitungen, wo "plötzlich" dieser Term auftaucht, vereinfachen sich Gleichungen oder Terme immens. Solche Vereinfachungen fazinieren natürlich jeden, der ein wenig Begeisterung für Mathematik und Physik aufbringt. Aber wieso ist das Ergebnis eigentlich Eins?.

Nun die Herleitung bzw. der Beweis dieses mathematischen Zusammenhangs ist gar nicht so schwierig, wie man im ersten Moment meinen mag.

(1) ${\sin }^2\left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=1$

Man muss sich nur die eigentlichen trigonometrischen Definitionen für Sinus und Cosinus in Erinnerung rufen, welche den funktionellen Zusammenhang zwischen Gegenkathete bzw. Ankathete, der Hypotenuse und einem Winkel Alpha beschreiben.

(2) $\sin \left(\alpha \right)=\frac{GK}{H}$

(3) $\cos \left(\alpha \right)=\frac{AK}{H}$

Dies setzt man nun in die Gleichung (1) ein.

(4) ${\left(\frac{GK}{H}\right)}^2+{\left(\frac{{\displaystyle AK}}{{\displaystyle H}}\right)}^2=1$

(5) $\frac{G{K}^2+A{K}^2}{H^2}=1$

Tada!!! Man sieht, dass im Zähler die Ankathete zum Quadrat addiert mit der Gegenkathete zum Quadrat steht. Und das ist bekannter Maßen gemäß dem Satz des Pythagoras die Hypothenuse zum Quadrat.

(6) $\frac{H^2}{H^2}=1$

Und schon hat die Formel aus dem Tafel- oder Formelwerk etwas an Magie verloren, jedoch nicht an Fazination.

[Datum: 25.03.2018]