Zinseszins

Auch wenn man als Privatperson Zinseszinsen auf normale Kontomodelle kaum noch erhält, so gibt es in der Wirtschaft und im Geldgeschäft noch viele Anwendungsfälle für die Zinseszins-Berechnung. Hier wird kurz die Formel zur Berechnung von Zinseszinsen mit zwei Beispielen dargestellt sowie die Herleitung der Formel.

Zinseszins berechnen

Der Kapital mit Zinseszinsen $K_{V}$ berechnet sich auch dem Anfangskapital $K_{A}$ , dem Zinsatz $p %$ und den Zinsperioden $n$ , als den Zeitabständen, wie die Zinsens ausgezahlt werden. In den meisten Fällen handelt es sich hierbei um Jahre.

$K_{V} = K_{A} {(1 + p)}^{n} K_{V} = K_{A} {(1 + \frac{p %}{100})}^{n} K_{V} . . . verzinstes Kapital K_{A} . . . Anfangskapital n . . . Anzahl der Zinsperioden, z.B. Anzahl Jahre p . . . Prozentsatz als Wert zwischen 0 und 1, z.B. 0,05 p % . . . Prozentsatz als Wert zwischen 0 und 100, z.B. 5%$

Möchte man nur die Zinsen oder Rendite $K_{Z}$ berechnen, muss man das Anfangskapital $K_{A}$ vom verzinsten Kapital $K_{V}$ einfach abziehen.

$K_{Z} = K_{V} - K_{A} K_{Z} . . . Zinsen$

Beispiel Berechnung Zinseszinsen

Es werden 2300EUR zu einem Zinssatz von 1,1% auf einem Konto mit Zinseszins angelegt. Welcher Betrag ist nach 6 Jahren auf diesem Konto?

$K_{A} = 2300 € p % = 1, 1 % n = 6 Jahre K_{V} = 2300 € \cdot {(1 + 0, 011)}^{6} K_{V} = 2456, 04 € K_{Z} = 156, 04 €$

Beispiel Berechnung Wachstumsraten

Wie oben bereits kurz erwähnt, lässt sich die Formel auch für andere Anwendungsfälle verwenden, zum Beispiel um das wirtschaftliche Wachstum einer Firma zu berechnen bzw. zu prognostizieren. Nehmen wir an es gibt eine Firma Meier & Schulz AG. Für diese Firma wird von führenden Wirtschaftsexperten ein Wachstum von 2,5% jährlich angegeben. Nehmen wir weiter an, ein Investor möchte 4000EUR für 10 Jahre in diese Firma investieren und die Firma kann die Wachstumsrate über 10 Jahre halten. Welche Rendite kann dieser Investor aufgrund des Wachstums nach 10 Jahren erwarten?

$K_{A} = 4000 € p % = 2, 5 % n = 10 Jahre K_{V} = 4000 € \cdot {(1 + 0, 025)}^{10} K_{V} = 5120, 34 € K_{Z} = 1120, 34 €$

Herleitung Formel Zinseszins

Um die Zinseszinsen über eine bestimmte Zeitdauer zu berechnen kann man natürlich iterativ vorgehen und für jeden Zeitabschnitt die Zinsen separat berechnen. Für unser erstes Beispiel könnte das wie folgt aussehen:

$Jahr 1: 2 .300,00€+2.300,00€ \cdot 0,011=2.325,30€ Jahr 2: 2.325, 30 € + 2.325, 30 € \cdot 0,011= 2.350, 88 € Jahr 3: 2.350, 88 € + 2.350, 88 € \cdot 0,011= 2.376, 74 € Jahr 4: 2.376, 74 € + 2.376, 74 € \cdot 0,011= 2.402, 88 € Jahr 5: 2.402, 88 € + 2.402, 88 € \cdot 0,011= 2.429, 31 € Jahr 6: 2.429, 31 € + 2.429, 31 € \cdot 0,011= 2.456, 04 €$

Dieser Ansatz sieht recht mühsam aus, aber wir können diese Vorgehensweise verallgemeinern:

$Periode 1: K_{V 1} = K_{A} + p K_{A} = K_{A} (1 + p) Periode 2: K_{V 2} = K_{V 1} + p K_{V 1} = K_{V 1} (1 + p) K_{V 2} = K_{A} (1 + p) (1 + p) K_{V 2} = K_{A} {(1 + p)}^{2} Periode 3: K_{V 3} = K_{V 2} + p K_{V 2} = K_{V 2} (1 + p) K_{V 3} = K_{A} {(1 + p)}^{2} (1 + p) K_{V 3} = K_{A} {(1 + p)}^{3}$

$Periode i: K_{V i} = K_{V (i - 1)} + p K_{V (i - 1)} = K_{V (i - 1)} (1 + p) K_{V i} = K_{A} {(1 + p)}^{(i - 1)} (1 + p) K_{V i} = K_{A} {(1 + p)}^{i}$

Man erkennt, dass mit jeder weiteren Zinsperiode der Faktor $(1 + p)$ hinzukommt. Die Anzahl der Faktoren entspricht dabei der Anzahl der Zinsperioden. Somit entspricht der Exponent immer der Anzahl der Zinsperioden. Für eine unbestimmte Anzahl an Zinsperioden lässt sich dies nun allgemein schreiben als ${(1 + p)}^{n}$ . Damit wären wir bei der allegemeinen Zinseszins-Formel angelangt:

$K_{V} = K_{A} {(1 + p)}^{n}$

Exponentielle Wachstum

Anhand der Formel erkennt man, dass es sich um eine exponentielle Formel handelt, wie auch das nachfolgende Bild verdeutlicht. Mathematisch gehen solche Formeln schnell ins Unendliche. Hier darf man natürlich nicht auf unendlichen Reichtum hoffen, denn erfahrungsgemäß sind alle wirtschaftlichen und auch physikalischen Systeme in irgend einer Art begrenzt. Es kann schon aufgrund von Ressourcenbegrenzungen kein unendliches Wirtschaftswachstum geben. Somit geht jedes wirtschaftliche System entweder in die Sättigung oder es verschwindet vom Markt.

Grafische Darstellung im Liniendiagramm verzinstes Kapital mit Zinseszinsen über 20 Jahre

Grafische Darstellung im Liniendiagramm Zinsen bei Zinseszins über 20 Jahre

[Datum: 23.08.2018]