Vektorfeld

Was ist ein Vektorfeld?

Allgemein gesprochen ist das Vektorfeld ein gerichtetes Feld. Pinzipiell kann ein Feld eine Fläche oder der dreidimensionale Raum sein. Theoretisch sind auch höhere Dimensionen denkbar, wobei dies dann schlecht vorstellbar wird. Jedem unendlich (infinitesimal) kleinen Punkt auf dieser Fläche oder im Raum kann dann ein Vektor zugeordnet werden. Dieser Vektor beschreibt dann eine bestimmte Eigenschaft, wobei diese Eigenschaft gerichtet ist. Wäre die Eigenschaft ungerichtet würde man vom Skalarfeld sprechen.

Ein typisches, noch gut vorstellbares Beispiel für ein Vektorfeld ist zum Beispiel die Strömung in einem Fluss. Man kann jedem räumlichen Punkt im Flussbett eine Strömungsgeschwindigkeit zuordnen. Die Strömungsgeschwindigkeit hat dabei in jedem Punkt eine bestimmte Richtung. Bei turbulenter Strömung oder Wirbelbildung, z.B. hinter einem Brückenpfeiler, kann die Richtung auch rückwärts geerichtet sein gegenüber der eigenlichen Stömung talwärts. Die Eigenschaft Strömungsgeschwindigkeit kann also in diesem Fall durch einen 3-dimensionalen Vektor beschrieben werden. Der Betrag des Vektors ist dann die eigentliche Geschwindigkeit genau in die durch den Vektor definierte Richtung.

Magnetfelder, Gravitationsfelder, elektrische Felder sind weitere Beispiele aus der Physik für Vektorfelder. Verallgemeinert kann man sagen, dass Kraft- und Strömungsfelder immer gerichtete physikalische Größe aufweisen und somit zu den Vektorfeldern gehören.

Darstellung eines Vektorfeldes im 3-dimensionalen Koordinatensystem

Feldfunktion

Die Berechnung des Feldvektors, also z.B. des Geschwindigkeitsvektors, erfolgt über die Feldfunktion bzw. den zugehörige Feldgleichungen.

$\vec{v} = (\begin{matrix} v_{x} (x; y; z) \\ v_{y} (x; y; z) \\ v_{z} (x; y; z) \end{matrix})$

Feldlinien

Zur besseren Veranschaulichung werden Vektorfelder auch gern mittels Feldlinien dargestellt. Abstrakt gesagt, sind das diejenigen Kurven bei denen im jeweiligen Punkt die Richtung einer angelegten Tagente mit der Richtung des Feldvektors übereinstimmt. In einem sich durchs Tal schlängelnden Fluss, wäre die Feldlinie die Strömungsbahn die eine winzig kleines Wasserteilchen entlangläuft.

Darstellung eines Vektorfeldes mit Feldlinien

Ein anderes bekanntes Beispiel ist die Darstellung von Magnetfeldlinien mittels Eisenspäne.

Stationäre und Instationäre Vektorfelder

Darüber hinaus können Vektorfelder, wie auch Skalarfelder, noch in stationäre und instationäre Felder unterschieden werden.
Ein stationäres Vektorfeld ist zeitlich unabhängig. Das heißt, der Vektor bleibt über die Zeit in jedem Punkt gleich, während es beim instationären Vektorfeld eine zeitliche Änderungen des Vektors gibt. Das Gravitationsfeld der Erde könnte man über weite Zeitbereich als stationär ansehen, wenn man unterstellt, dass die sich anziehenden Massen gleichbleiben; es also keinen Materiezufluss gibt.
Das von einem Wechselstromkreis erzeugte Magnetfeld in einem Leiter oder eine Spule ist ein Beispiel für ein instationäres Vektorfeld.

Rechenbeispiel

Nehmen wir an ein dreidimensionales Vektorfeld ist durch folgende Feldgleichungen definiert:

$\vec{v} = (\begin{matrix} v_{x} (x; y; z) \\ v_{y} (x; y; z) \\ v_{z} (x; y; z) \end{matrix}) = (\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + x \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + y \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + z \end{matrix}) \vec{v} (1; 1; 1) = (\begin{matrix} 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 1 \\ 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 1 \\ 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix}) \vec{v} (2; 2; 2) = (\begin{matrix} 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 2 \\ 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 2 \\ 2^{2} + 2^{2} + 2^{2} + 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 14 \\ 14 \\ 14 \end{matrix}) \vec{v} (2; 1; 3) = (\begin{matrix} 2^{2} + 1^{2} + 3^{2} + 2 \\ 2^{2} + 1^{2} + 3^{2} + 1 \\ 2^{2} + 1^{2} + 3^{2} + 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 16 \\ 15 \\ 17 \end{matrix})$

Nun kann man noch den jeweiligen Betrag des Feldvektors berechnen:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}} |\vec{v} (1; 1; 1)| = \sqrt{4^{2} + 4^{2} + 4^{2}} = 6, 93 |\vec{v} (2; 2; 2)| = \sqrt{14^{2} + 14^{2} + 14^{2}} = 24, 25 |\vec{v} (2; 1; 3)| = \sqrt{16^{2} + 15^{2} + 17^{2}} = 27, 75$

[Datum: 02.12.2018]