Richmannsche Mischungsregel

Mischtemperatur berechnen

Möchte man die Mischtemperatur von zwei Medien mit unterschiedlicher Temperatur berechnen, so macht man dies über die Richmannsche Mischungsformel, benannt nach dem Physiker Georg Wilhem Richmann.

Mischtemperatur bei zwei gleichen Medien

Hat man zwei gleiche Medien mit einer unterschiedlichen Temperatur und mischt diese in einem bestimmten Masseverhältnis, so lautet die Berechnungsformel wie folgt. Es kann sich zum Beispiel um Wasser in einem Pool handeln, in welchem man eine bestimmte Menge warmes Wasser hinzugibt, um das Poolwasser zu erwärmen.

$T_{M} = \frac{m_{1} T_{1} + m_{2} T_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

Abbildung Mischung zweier gleicher Medien in Behältern mit unterschiedlichen Masseverhältnis

Formelzeichen

$m_{1}, m_{2} . . . . Masse der beiden zu mischenden Medien c 1, c_{2} . . . . spezifische Wärmekapazität der beiden zu mischenden Medien T_{1}, T_{2} . . . . T e m p e r a t u r d e s j e w e i l i g e n M e d i u m s v o r d e m M i s c h p r o z e s s T_{M} . . . . resultierende Mischtemperatur$

Diese Formel lässt sich auch adaptieren auf strömende Medien, zum Beispiel, wenn in einer Rohrleitung mit strömenden kalten Wasser eine Teilmenge warmes Wasser zugemischt wird. Im Haushalt kennt man das zum Beispiel von der Mischbatterie in der Dusche.

$T_{M} = \frac{{\dot{m}}_{1} T_{1} + {\dot{m}}_{2} T_{2}}{{\dot{m}}_{1} + {\dot{m}}_{2}}$

Abbildung Mischung zweier gleicher Medien als Massestrom in Rohrleitungen

Mischtemperatur bei unterschiedlichen Medien

Mischt man unterschiedliche Medien mit unterschiedlicher oder gleicher Temperatur, muss in der Formel die spezifische Wärmekapazität der Medien berücksichtigt werden. Die Formel ist aber nur anwendbar, wenn eine reine Mischung stattfindet und die beiden Medien nicht exo- oder endotherm miteinander reagieren.

$T_{M} = \frac{c_{1} m_{1} T_{1} + c_{2} m_{2} T_{2}}{c_{1} m_{1} + c_{2} m_{2}}$

Abbildung Mischung zweier unterschiedlicher Medien in Behältern mit unterschiedlichen Masseverhältnis

Bei Massenströmen lautet die Gleichung:

$T_{M} = \frac{c_{1} {\dot{m}}_{1} T_{1} + c_{2} {\dot{m}}_{2} T_{2}}{c_{1} {\dot{m}}_{1} + c_{2} {\dot{m}}_{2}}$

Abbildung Mischung zweier unterschiedlicher Medien als Massestrom in Rohrleitungen

Anwendbarkeit und Idealisierung

Wie immer in der Physik handelt es sich bei einer solchen Formel um eine Idealisierung, der folgende Annahmen zugrunde liegen

bei unterschiedlichen Medien erfolgt keine exotherme oder endotherme chemische Reaktion
die beiden Medien sind in einem abgeschlossenen System. Es findet kein Wärmeübertrag nach innen oder außen in das System statt
es erfolgt keine Aggregatszustandsänderung der beiden oder eines der beiden Medien statt
es wird von einer vollständigen Durchmischung ausgegangen, es gibt also keine Strähnen oder lokale "Hotspots"
radioaktiv sollten die Medien sicherlich auch nicht sein
und nun ja ... Festkörper sind wahrscheinlich mangels praktischer Umsetzung auch ausgeschlossen
Reibungsverluste werden auch vernachlässigt und wir müssen diesmal nicht mal eine Punktmasse annehmen ;-)

Für die Praxis ist die Formel in den meisten Fällen hinreichend genau. Haben andere Effekte und Störgrößen maßgeblichen Einfluss, so muss man sein Prozessmodell entsprechend erweitern.

Herleitung der Richmannschen Mischungsregel

Ausgangspunkt ist, wie so oft bei solchen Herleitungen, eine Bilanz. Jedes Medium mit einer bestimmten Masse, welches seine Temperatur verändert $∆ T$ unterliegt einer Wärmezufuhr oder - abfuhr.

Die Wärmezufuhr bzw. -abfuhr berechnet sich über die Temperaturdifferenz:

$Q = c m ∆ T$

Bezogen auf den Mischprozess bedeutet dies, dass es beim Medium 1 vor dem Mischvorgang eine Temperatur $T_{1}$ vorliegt und nach dem Mischvorgang eine Mischtemperatur $T_{M}$ . Genauso weist Medium 2 die Temperatur $T_{2}$ vor dem Mischen auf und die Mischtemperatur $T_{M}$ nach dem Mischen. Aufgrund unterschiedlicher Wärmekapazitäten, unterschiedlicher Ausgangstemperaturen oder unterschiedlicher Mengen gibt es immer ein Medium, welches beim Mischen Wärme aufnimmt während das andere die Wärme abgibt. Somit lautet die Wärmebilanz:

$Q_{a b g e g e b e n} - Q_{a u f g e n o m m e n} = 0$

$c_{1} m_{1} ∆ T_{1} = c_{2} m_{2} ∆ T_{2}$

$c_{1} m_{1} (T_{1} - T_{M}) = c_{2} m_{2} (T_{M} - T_{2})$

Nun muss man nur noch die Formel nach der Mischtemperatur $T_{M}$ umstellen:

$c_{1} m_{1} T_{1} - c_{1} m_{1} T_{M} = c_{2} m_{2} T_{M} - c_{2} m_{2} T_{2} c_{1} m_{1} T_{1} + c_{2} m_{2} T_{2} = (c_{1} m_{1} + c_{2} m_{2}) T_{M} T_{M} = \frac{c_{1} m_{1} T_{1} + c_{2} m_{2} T_{2}}{c_{1} m_{1} + c_{2} m_{2}}$

[Datum: 31.05.2018]